剩余法
实际上，校验和经过反演后才附加到消息中。这就使接收器上算出的余数（超过m+r位）不为0。在这类情况下，接收器上得到的余数是一个固定值，称为多项式的剩余值。
做一点演算有助于更清楚地说明这一概念。
假定%符号在下列表达式中表示模运算。
对于未经反演附加校验和的情况：
(Mxr–R)xr%G=0
在这种情况下，接收器会执行与发射器一样的移位运算。
现在，考虑校验和在发射器上经反演后附加到消息流的情况： (Mxr–Rc)xr% G
其中，Rc表示经过反演的校验和。
还可以将其写成：(Mxr– R +(xr-1+...+x+ 1)) xr% G
一个位的反码与其对1异或运算的结果相同。这里的+号表示模2算法中的加法（另请注意，在模2算法中，加法和减法运算相同）。
在这种情况下，余数与以下表达式相同：(xr-1+...+x+1) xr% G
对于给定的生成器多项式来说，此表达式的计算结果将是一个常数。
最常用的CRC 32生成器多项式是G(x) = x32+x26+x23+x22+x16+x12+x11+x10+x8+x7+x5+x4+x2+x+1
该式在十六进制中是04C11DB7。
与CRC-32对应的常数剩余值在十六进制中是C704DD7B。对于给定的生成器多项式G来说，无论在输入端提供何种数据样式，剩余值仍为常数。
硬件实现
CRC校验和的计算是多项式除法过程。在硬件中实现该过程需要使用一个移位寄存器（亦称CRC寄存器）。该移位寄存器的长度与生成器多项式的阶数相同。
CRC 计算过程如下：
1.初始化CRC寄存器。
2.持续获取消息位，直到获得所有消息位。如果CRC寄存器中的高阶位是1，则向左移一位，并且将其结果与G进行异或运算。否则，仅向左移一位。
对给定消息完成所有这些步骤后，CRC寄存器中剩 下的就是余数。
可以用一种称为线性反馈移位寄存器(LFSR)的电路执行这些步骤。图1所示为用CRC32多项式计算 CRC 的 LFSR 实现方法。请注意，异或门的布局取决于生成器多项式中项值为 1 的对应项的系数。图中的编号方框各代表一个存储元件（触发器）。
